Шриниваса Рамануджан был гением. Его научный подход, способности, его математическое чутье и проницательность были действительно не от мира сего. В своей биографической заметке о Рамануджане Дж. Х. Харди писал:
«Его проникновение в алгебраические формулы, преобразования бесконечных рядов и т.п. были просто поразительным. Я не знаю никого, кто мог бы в этом сравниться с ним, разве только Эйлер или Якоби. Он использовал, в значительно большей степени, чем современные математики, индуктивные и наводящие соображения; отправляющиеся от численных примеров — все его теоремы для p(n) были, в частности, получены таким образом. Хорошая память, терпение и виртуозность вычислителя сочетались в нём с силой обобщения, чувством формы и способностью мгновенной адаптации гипотез, которые производили исключительно сильное впечатление. Все это ставило его в области собственных исследований выше всех современных ему математиков».
В нашей предыдущей статье «Невероятные способности мозга: Божественная математика» мы коротко рассказали о биографии Рамануджана, но столь короткое повествование вряд ли даст представление о том, кем был этот великий математик на самом деле. В этой статье мы хотим поделиться с вами несколькими историями из жизни Рамануджана, дабы совместными усилиями чуть лучше понять уникальность этого самобытного таланта.
«Ответ появился у меня в голове!»
Однажды воскресным декабрьским утром 1914 года Прасанта Чандра Махаланобис, индийский математик и друг Рамануджана, приехал к нему в Уэвеллс-Корт. Пока Рамануджан готовил им угощение, Махаланобис в гостиной листал декабрьский выпуск популярного английского журнала Strand и наткнулся на опубликованную там загадку о жителях воображаемого городка Литтл Вурцельфолд. Задачка показалась ему весьма любопытной и он решил проверить ее на своем друге.
— Вот задачка для тебя! — крикнул он в соседнюю комнату, и прочитал следующее:
…На днях я рассказывал одному джентльмену о небольшом бельгийском городке под названием Лувен, — сообщил Уильям Роджерс другим жителям деревни, собравшимся у камина в таверне. Тот джентльмен сказал, что хорошо знает это место – раз он гостил там у своего бельгийского друга. Еще он вспомнил, что дом его друга находился где-то среди домов на длинной улице. Сумма номеров домов до дома бельгийца равна сумме номеров домов после (до конечного на этой улице). А еще тот джентльмен вспомнил, что всего на улице было больше пятидесяти домов, но меньше, чем пятьсот. Роджерс рассказал эту историю местному священнику, и тот незамедлительно вычислил номер дома бельгийца. Уж не знаю, как он это сделал…
А смогут ли читатель повторить «расчет» священника и вычислить номер дома бельгийского друга джентльмена?
Методом проб и ошибок Махаланобис (впоследствии основавший индийский статистический институт) нашел решение за несколько минут. Рамануджан также решил задачку, но своим особым подходом. «Вот решение!», — сказал он и начал диктовать бесконечную дробь, знаменатель которой состоит из числа плюс новая дробь, а знаменатель этой дроби состоит из числа плюс следующая дробь, и так до бесконечности. Это было не просто решение одной задачи, а целого цикла задач, скрытых в простой развлекательной загадке. У оригинальной задачи есть единственное решение: бельгиец жил в доме номер 204 на улице из 288 домов, то есть 1 + 2 + … 203 = 205 + 206 + … 288. Но если убрать ограничение «50-500» есть и другие решения. Например, на улице из восьми домов ответ будет дом номер 6: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 7 + 8. Дробь Рамануджана позволяла найти все правильные ответы для неограниченного числа домов.
Махалонобис был поражен. «Но как ты до этого дошел?»- только и мог спросить он Рамануджана.
— Как только я услышал задачу, стало ясно, что решение, очевидно, должно быть непрерывной дробью. Я спросил себя: «Какая дробь?» И ответ появился у меня в голове…
«Ответ появился у меня в голове!» В этом весь уникум Рамануджана – вот такая информация приходила к нему уже «готовой»! Подсказывала ли ему решения покровительница его семьи богиня Лакшми (как он сам утверждал) или происходило то, что в западном мире любят называть красивым словом «интуиция» — сути не меняет…
- Kanigel, Robert (1991). The Man Who Knew Infinity: a Life of the Genius Ramanujan. New York: Charles Scribner’s Sons.
«Но почему Рамануджан был так уверен, что такая формула существует?»
Предисловие: чтобы понять следующую историю, не нужно знать много математики, да и технические подробности не так важны. Обсуждается функция p(n), которая дает для положительного числа n количество «способов», какими мы можем записать n в виде суммы положительных целых чисел. Например, в случае p(4), ответ — 5. Потому что 4 можно записать как: (а) 4, (б) 3 + 1, (в) 2 + 2, (г) 2 + 1 + 1, (д) 1 + 1 + 1 + 1. Итого, пятью способами. Функция растет очень быстро, и p(200) (то есть сколько существует способов записать 200 в виде суммы натуральных чисел) равно 3972999029388.
Математики долго искали формулу, позволяющую вычислять p(n) для любого n, или, по крайней мере, найти приближенную формулу, которая давала бы «достаточно близкий» результат. Харди и Рамануджан вывели формулу, содержащую следующее выражение: eπ/q • sqrt(2n/3). Однако формула была недостаточно точной, и в какой-то момент Рамануджан предложил изменить выражение на eπ/q • sqrt(2(n – 1/24)/3), то есть заменить n на n – 1/24. Почему –1/24? Как он пришел к этой идее, так и осталось неизвестным, но факт остается фактом: с этого момента все стало на свои места, получилась просто точная формула! Вот как Литтлвуд описывал это событие:
История нахождения формулы романтична (Ох, уж эти математики!..) Кстати, чтобы передать все честно, я должен немного нарушить предыдущие заявления об одинаковой лепте всех авторов в эту работу. Поэтому добавлю, что профессор Харди подтверждает мое заявление.
Одна из идей Рамануджана еще в его индийский период заключалась в том, что первый член [ряда] был очень хорошим приближением к p(n) — и это было установлено без особого труда. Поэтому n – 1/24 можно было представить как простое n – и разница не имела значения.
С этого момента началась настоящая атака на проблему. Следующим шагом было рассмотрение ряда как асимптотического разложения, фиксированная частичная сумма которого (например, первых четырёх членов) даёт приближение с ошибкой, которая растет вместе с n. С этого момента Рамануджан упорно заявлял, что правильно нечто большее, чем было доказано до тех пор. Должна существовать, говорил он, формула с ошибкой O(1) (т.е., с конечной для всех n ошибкой). Эта гипотеза была настолько необычной, что на первый взгляд казалась невероятной. Тем не менее, она была важнейшим вкладом в разработку теоремы, без которого теорема не могла бы быть найдена. Была предпринята тщательная числовая проверка, которая обнаружила удивительнейшие факты относительно p(100) и p(200)… Без сомнения, все это стало огромным шагом вперёд. Но в то же время потребовало столь глубоких теоретических изысканий, так что Рамануджан вряд ли смог бы их осилить в одиночку.
Наконец они очень близко приблизились к решению. Оставались лишь последние детали. Но… преодоление этих последних трудностей было бы, вероятно, невозможно без ещё одного вклада Рамануджана, на этот раз исключительно в его стиле. Мало того, что аналитические подходы к теореме были чрезвычайно трудными — в решении теоремы появились неразрешимые сложности чисто формального характера. Часть функции (в состав которой входит приведённое выше выражение) представляет собой важнейший элемент формулы; между многими асимптотически эквивалентными формами этой функции важно было выбрать единственно правильную. И если этого не сделать, то вся грандиозная работа пойдет насмарку. Как вы догадались, гениальная идея Рамануджана ввести –1/24 (не говоря уже о дифференцировании по n) позволило найти правильное решение.
Во всём этом есть что-то почти сверхъестественное. Если бы мы только знали, что существует формула с ошибкой O(1), то, может быть, логика привела бы нас постепенно, шаг за шагом, к правильному решению. Но почему Рамануджан был так уверен, что такая формула существует в принципе? Вряд-ли это можно объяснить проникновением в теоретическую сущность вопроса. Также не понятно, какие числовые данные должны были убедить его в справедливости столь сильного утверждения. Да и вообще, пока неизвестна окончательная формула, никакие числовые данные не могут навести на подобную мысль. Из этой дилеммы нет выхода, и мы вынуждены остановиться на гипотезе, что его предположение было озарением — искрой гениальной интуиции.
Открытие этой теоремы является, без сомнения, результатом исключительно удачного сотрудничества двух людей с очень разнородными талантами (Харди и Рамануджана). И каждый из них внёс в эту работу всё самое лучшее, чем обладал. Гению Рамануджана представился достойный случай показать себя».
- A Mathematician’s Miscellany, by Littlewood,J.E. Methuen And Company Limited.
- В.И.Левин «Рамануджан — математический гений», издательство «Знание», Москва, 1968
- Левин В. И. Жизнь и творчество индийского математика С. Рамануджана // Историко-математические исследования. — М.: Физматгиз, 1960. — Т. XIII.
https://alchetron.com/John-Edensor-Littlewood, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=91191788.
«Личные друзья»
Кто-то однажды заметил, что для Рамануджана «каждое число было его личным другом» (благодаря Харди, эту фразу часто приписывают Литтлвуду). И как показывает следующая анекдотичная история, что-то правдивое в этом утверждении есть:
Однажды Харди решил навестить приболевшего Рамануджана в Путни. Харди обратил внимание на номер такси (или кэба, не суть важно). Номер «1729» показался Харди весьма «скучным», о чем он, едва поздоровавшись, и сообщил другу.
— Нет, Харди, нет! — сказал Рамануджан — Это очень интересное число. Оно является наименьшим числом, которое можно представить в виде суммы двух кубов двумя различными способами.
Найти числа, представляющие собой сумму одной пары кубов, несложно. Например, 23 + 33 = 35. Но можно ли получить 35, использовав другую пару кубиков? Увы… Попробуйте поработать с большими числами – иногда вам удастся найти одну пару, но две пары вы найдете только когда дойдете до 1729: 93 + 103 = 13 + 123 = 1729.
Откуда Рамануджан это знал? Это не было внезапным озарением. За много лет до этого он обратил внимание на этот маленький арифметический парадокс с той легкой, почти интимной близостью, с которой он относился, в частности, к числам и к математической науке, в целом.
- Kanigel, Robert (1991). The Man Who Knew Infinity: a Life of the Genius Ramanujan. New York: Charles Scribner’s Sons.
Featured image of Ramanujan By Konrad Jacobs — Oberwolfach Photo Collection, original location, CC BY-SA 2.0 de, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=3911526
Статьи по теме: