Математика — это логика и воображение. В некотором смысле, это ответ на такие вопросы, как «если мы представляем какие-то правила, какими бы они ни были, насколько далеко мы можем пойти с ними, применяя только логику»? Можно подумать, что математика — это числа и вычисления, но на самом деле математические идеи — это творчество, строгая логика и множество фантазий.
Мауриц Корнелис Эшер (Maurits Cornelis Escher, 1898–1972) хорошо это знал. Эшер был художником-графиком, и его формальное математическое образование закончилось в средней школе. Он считал, что у него нет математических способностей, и все же он рисовал математику таким образом, который вдохновляет математиков, ученых, инженеров и многих других по сей день. К сожалению, его работы не были популярны большую часть его жизни, и только в возрасте 70 лет он начал видеть растущий интерес к ним.
Его работы включают невозможные объекты, иллюзии восприятия, симметрию, мозаичное замощение (покрытие плоскости геометрическими фигурами без пробелов и пересечений), рекурсию (когда вещь определяется с точки зрения ее самого или ее типа), самоссылку, гиперболическую геометрию и многое другое. Мы обязательно расскажем о его жизни и его работах в будущих статьях, но в этом мы хотим поговорить об одной конкретной картине — «Картинная галерея».
Картинная галерея
В «Картинной галерее» (на голландском языке: Prentententoonstelling), если вы посмотрите в правый нижний угол, вы увидите галерею. Идя влево (двигаясь по часовой стрелке), вы увидите все больше и больше картинок в слегка искаженном виде, пока не увидите человека в левом нижнем углу изображения. Человек смотрит на картинку с лодкой и городом в верхнем левом углу изображения. В городе много кубических зданий, простирающихся до правого верхнего угла изображения, и одно из них расположено прямо над картинной галереей, которая расположена, ну, в общем, в правом нижнем углу изображения. Мы просто там, где мы начали. Бессмысленно, но все же интересно, любопытно и красиво.
Небольшая странность на изображении — это его центр. В центре белый круг с подписью Эшера. Почему это? Тот же вопрос возник в голове у доктора Хендрика Ленстры, математика, когда он прилетел в Нидерланды и прочитал журнал с этой картинкой.
Он решил, что должен разгадать загадку, скрытую в картине, и выяснить, что должно быть в центре изображения, что скрывается за белым кругом. К счастью, его профессия и характер дали ему правильные инструменты для этого. В конце концов он опубликовал свое исследование «Математическая структура галереи печати Эшера» (“The Mathematical Structure of Escher’s Print Gallery”, at Artful Mathematics: The Heritage of M. C. Escher, Celebrating Mathematics Awareness Month, Volume 50, Number4 (http://www.ams.org/notices/200304/fea-escher.pdf)
Похоже, что белый круг может быть заполнен, и то, чем иммено просто потрясающе! По-видимому, ссылаясь на результаты исследования, «всю литографию можно рассматривать как нарисованную на определенной эллиптической кривой над полем комплексных чисел, и сделать вывод, что идеализированная версия картины повторяется в середине. Точнее, он содержит свою копию, повернутую по часовой стрелке на 157,6255960832 … градусов и уменьшенную в 22,5836845286 …. раз»
Чтобы лучше это понять, посмотрите видеоролик, который демонстрируется в музее Эшера в Ден Хааге, Нидерланды.
Математика и искусство
Как нарисован этот невероятный образ? Чтобы погрузиться в секреты этого произведения искусства, исследователи прочитали Волшебное зеркало М. С. Эшера Бруно Эрнста. Цитируя Волшебное зеркало и Математическую структуру печатной галереи Эшера, Эшер начал “с идеи, что должно быть… возможно сделать кольцевую деформацию”, “циклического расширения … без начала или конца”. Он “попытался осуществить свою идею на практике используя прямые линии, но затем он интуитивно применил изогнутые линии. Таким образом, оригинальные маленькие квадраты могли бы лучше сохранить свой квадратный вид“.
Эшер знал, что использование прямых линий создаст искаженное изображение. Такое, которое будет трудно понять, в котором объекты, такие как картины, окна и здания, будут почти неузнаваемыми, поэтому он попробовал форму эллиптической кривой (Не путать с эллипсами. Эллиптическая кривая — это кривая, которая определяется конкретным уравнением).
Циклическое расширение, созданное Эшером, развивалось с течением времени, пока он не придумал нечто подобное:
Осталось только создать нормальный рисунок и адаптировать его к этому новому геометрически искривлённому миру. Обратите внимание, что в этом мире, если присмотреться, то можно увидеть, что каждая клетка имеет квадратную форму, и только глядя издалека можно увидеть, что мир искривлен. Это именно то, чего Эшер не мог достичь с помощью прямых линий, и за этим тоже стоит математический принцип, называемый “Конформная отображение” (это преобразование из одной плоскости в другую, сохраняющее локальные углы между кривыми, а значит и форму бесконечно малых фигур).
Эта математическая идея, конформное отображение, является именно той причиной, по которой изображение не может быть получено прямыми линиями, которые не сохраняют углы каждого квадрата, как это сделала кривая Эшера. Эшер заполнил квадраты и выполнил преобразование.
Давайте исследуем этот новый искривленный мир и его причудливые свойства. На иллюстрации ниже левое изображение показывает квадрат 5X5, который начинается в точке A (следуйте за точками), завершает замкнутый цикл и заканчивается, как и ожидалось, в точке A. Он не очень похож на квадрат, но в этом мире, это так. С другой стороны, если бы квадрат был немного больше, 7X7, как показано на правом изображении, ситуация была бы совершенно иной. Помните, что этот искривленный мир бесконечен и загибается сам в себя. Таким образом, больший квадрат, который начинается в точке А, будет «засосан» в середину мира, который содержит свою копию, и в конечном итоге окажется в точке А ’- аналог точки А во внутренней части мира. Теперь это действительно не очень похоже на квадрат, и все же, в некотором смысле, это так!
Цитируя Волшебное зеркало и Математическая структура в картинной галерее Эшера, реализация идеи “циклического расширения… без начала или конца” вызвала у Эшера “некоторые сильные головные боли”.
Эшер провел свое собственное исследование, по-своему и своими методами, и, хотя его путь нестандартен, его результаты поражают математиков и развивают любопытство у всех людей. Работы Эшера не только помогают объяснить некоторые фундаментальные математические идеи, но также помогают развивать новые идеи и новые области математических исследований. После того, как работа сделана, остается только учиться, удивляться и наслаждаться.
Главное изображение: Рука с Отражающей Сферой М. С. Эшера. Литография, 1935, также известная как Автопортрет в Сферическом Зеркале. Автопортрет Эшера.