Вы когда-нибудь задумывались, что находится с другой стороны зеркала? (Слишком смекалистым отвечаем: мы не имеем в виду слой амальгамы или стенку, на которой весит зеркало…) И еще один вопрос: а как зазеркальный мир (если он существует, конечно) влияет на наш мир?
Не знаете? А Льюис Кэрролл еще в 1871 году обсуждал эти вопросы в своей книге «Сквозь зеркало, и Что там нашла Алиса», которую мы знаем под более простым названием «Алиса в Зазеркалье», и результаты этих совсем недетских рассуждений получились совершенно впечатляющими! Кэрролл наполняет свой фантастический мир Зазеркалья бессмыслицей, юмором, творчеством и множеством фантазий. И, конечно же, книга переполнена математическими рассуждениями и загадками – давайте просто почитаем и проанализируем эту «детскую» книгу внимательно (что, собственно, мы и собираемся сделать в этой статье!)
Мы впервые погрузились в математику Кэрролла в нашей предыдущей статье «Алиса в Стране Математики», а теперь пришло время обратиться к обратной (т.е., зеркальной) логике и посмотреть, какие сюрпризы ждут нас там.
Мир по ту сторона зеркала – это игра интеллекта, шахматная партия. Если Азимов незаметно «вплел» блестящую шахматную комбинацию в свой роман, то Кэрролл посвятил одной, правда, абсолютно грандиозной, шахматной партии целый роман. Алиса — пешка, которая движется по шахматной доске только вперед, чтобы стать королевой (или, точнее сказать, ферзем), и на протяжении всей книги она может разговаривать только с фигурами, окружающими ее на соседних клетках. Все фигуры ведут себя как и должны в соответствии с правилами игры: ферзи всегда в активном движении, рыцари часто падают с лошадей из-за своей странной движущейся формы (образующей L-образную форму), а короли медлительны, беспомощны или даже спят. Хотя, надо признать, игра немного странная и не всегда соответствует общепринятым правилам шахмат.
Например: последовательность ходов (белых и красных фигур) не всегда соблюдается, и каждый цвет может выполнять более одного хода подряд. Не так важно, но все же стоит упомянуть: Некоторые возможности поставить мат игнорируются, белый ферзь убегает от красного коня вместо того, чтобы атаковать его, и, в общем, логика большинства ходов весьма сомнительна. К счастью, все это легко объясняется причудливостью персонажей и художественным выбором.
Многие пытались реконструировать «партию» Кэрролла на шахматной доске. Кстати, одна такая попытка заслуживает особого упоминания: в 1910 году Дональд М. Лидделл представил настоящую шахматную партию из 66 ходов, которая начинается дебютом Берда и полностью повторяет сюжетные события. Партия была опубликована в British Chess Magazine, Vol 30, p. 181-184. В том же номере мы читаем рецензию шахматного редактора газеты Bradford Observer Budget:
«Г-н. Дональд М. Лидделл представляет партию, дабы продемонстрировать успехи Алисы в «Зазеркалье». Мистер Лидделл, несомненно, имел добрые намерения, но мы можем откровенно сказать ему, что его попытка соревноваться с автором «Алисы» обречена на позорную неудачу. Мы продемонстрировали партию мистера Лидделла юной леди примерно того же возраста, что и Алиса, которая хотела, чтобы ей прочитали сказку, и она была весьма разочарована. На самом деле, не будет преувеличением сказать, что девочка была очень сердита».
Тем не менее мы считаем, что попытка г-на Лидделла является замечательным достижением. Что же касается Кэрролла, то стоит отметить, что это была одна из первых попыток совместить литературный сюжет с шахматной партией, и автор весьма неплохо справился с этой задачей.
«Свет мой, зеркальце! скажи»
Раз Труляля и Траляля
Решили вздуть друг дружку.
Из-за того, что Траляля
Испортил погремушку, —
Хорошую и новую испортил погремушку.
Но ворон, черный, будто ночь,
На них слетел во мраке.
Герои убежали прочь.
Совсем забыв о драке, —
Тра-ля-ля-ля, тру-ля-ля-ля, совсем забыв о драке.
Они стояли под деревом, обняв друг друга за плечи… – Когда знакомишься, нужно прежде всего поздороваться и пожать друг другу руки!Тут братцы обнялись и, не выпуская друг друга из объятий, протянули по одной руке Алисе…Тут ее осенило, и она протянула им обе руки сразу. В следующую минуту все трое кружились, взявшись за руки, в хороводе.
Глава IV ТРАЛЯЛЯ И ТРУЛЯЛЯ
Траляля и Труляля выглядят и действуют так, как будто являются отражением другого. «Ни в коем разе!» — сказал бы Траляля, «И задом наперед, совсем наоборот» — продолжил бы Труляля. Траляля поднимает правую руку, а Труляля — левую. Вопросы симметрии и асимметрии – одни из наиболее изучаемых современной наукой (и, кстати, не только математикой). Для «существ» подобных Траляля и Труляля введено специальное понятие «энантиоморфов» — трехмерных объектов, являющихся зеркальным отражением друг друга, т.е., обладающих хиральностью. Объект является хиральным, если он не совпадет со своим зеркальным отражением после переносов или поворотов (если не отвлекаться на подробности, наши руки являются примером хиральных объектов).
Хиральность очень важна в нашем мире, и Алиса тоже задается этими недетскими вопросами с детской наивностью. «Ну, как, Китти, хочешь жить в Зеркальном доме? Интересно, дадут тебе там молока? Впрочем, не знаю, можно ли пить зазеркальное молоко? Не повредит ли оно тебе, Китти…» – спрашивает свою кошку Алиса. Кстати, Алиса (Кэрролл) сделали абсолютно верное научное предположение: зеркальное молоко почти наверняка не годится для питья или как минимум мы бы не почувствуем его вкуса.
Похоже, что отсутствие симметрии в молекулах имеет решающее значение для нашего существования. Природные хиральные молекулы практически всегда встречаются только в левой или правой форме, но не в обеих. Например, мы с удовольствием выпьем чай с добавлением D-глюкозой, а вот вкус L-глюкозы мы не почувствуем. Хиральные молекулы должны обрабатываться хиральными ферментами с одинаковой хиральностью, в то время как разная хиральность может привести к тому, что молекулы будут по-разному реагировать в организме человека. Что касается молока, то его зеркальные молекулы были бы неподходящими для организма Китти. Поэтому, пожалуйста, не пробуйте дома зеркальное молоко!
Конечно, Кэрролл не мог знать тонкостей биохимии, но он был абсолютным провидцем в вопросах симметрии и хиральности!
– Я знаю, о чем ты думаешь, – сказал Труляля, – но это не так! Ни в коем разе!
– И задом наперед, совсем наоборот, – подхватил Траляля. – Если бы это было так, это бы еще ничего, а если бы ничего, оно бы так и было, но так как это не так, так оно и не этак! Такова логика вещей!
«Что в имени тебе моем?»
Да, логика – вообще «любимица» Кэрролла. В своем путешествии Алиса встречает Белого рыцаря, который является одним из приятнейших персонажей книги:
– Ты загрустила? – огорчился Рыцарь. – Давай я спою тебе в утешение песню.
Глава VIII «ЭТО МОЕ СОБСТВЕННОЕ ИЗОБРЕТЕНИЕ!»
– А она очень длинная? – спросила Алиса.
В этот день она слышала столько стихов!
– Она длинная, – ответил Рыцарь, – но очень, очень красивая! Когда я ее пою, все рыдают… или…
– Или что? – спросила Алиса, не понимая, почему Рыцарь вдруг остановился.
– Или… не рыдают. Заглавие этой песни называется «Пуговки для сюртуков» .
– Вы хотите сказать – песня так называется? – спросила Алиса, стараясь заинтересоваться песней.
– Нет, – ты не понимаешь, – ответил нетерпеливо Рыцарь. – Это заглавие так называется. А песня называется «Древний старичок» .
– Мне надо было спросить: это у песни такое заглавие? – поправилась Алиса.
– Да нет! Заглавие совсем другое. «С горем пополам!» Но это она только так называется!
– А песня эта какая? – спросила Алиса в полной растерянности.
– Я как раз собирался тебе об этом сказать. «Сидящий на стене»! Вот какая это песня! Музыка собственного изобретения!
Вроде путаница на путанице, но для изучающего логику эти фразы — райская музыка. И не только для любителей логики, но и для любого программиста тоже. В компьютерах информация хранится в блоках памяти. Информация имеет свой компьютерный адрес. Мы можем сохранить значение скорости света (299,792,458 м/с) в блоке памяти и назвать его SpeedOfLight, а адрес этой информации сохраним под другим названием ReferenceToSpeedOfLight, а адрес этой информации сохраним под другим названием ReferenceToReferenceToSpeedOfLight, и так далее. Математика и особенно логика руководствуется теми же принципами, и Кэрролл проводит различие между вещами, названиями вещей и названиями названий вещей. Да, логика может сбивать с толку…
Ничто
– Взгляни-ка на дорогу! Кого ты там видишь?
Глава VII ЛЕВ И ЕДИНОРОГ
– Никого, – сказала Алиса.
– Мне бы такое зрение! – заметил Король с завистью. – Увидеть Никого! Да еще на таком расстоянии! А я против солнца и настоящих-то людей с трудом различаю!
Но Алиса его не слушала: она не отрываясь смотрела из-под руки на дорогу.
– Там кто-то идет! – сказала она наконец. – Только очень медленно. И как-то странно!
(Гонец прыгал то на одной ножке, то на другой, а то извивался ужом, раскинув руки, как крылья.)
…В эту минуту к ним подбежал Гонец; он так запыхался, что не мог произнести ни слова – только махал руками и строил бедному Королю рожи…
– Кого ты встретил по дороге? – спросил Король Гонца, протягивая руку за второй порцией заноз.
– Никого, – отвечал Гонец.
– Слышал, слышал, – сказал Король. – Эта молодая особа тоже его видела. Он, значит, не так быстро бегает, как ты?
– Я стараюсь, как могу, – отвечал угрюмо Гонец. – Никто меня не обгонит!
– Конечно, не обгонит, – подтвердил Король. – Иначе он пришел бы сюда первым! Что ж, ты теперь отдышался, скажи-ка, что слышно в городе?
Ерунда, правда? Смешно, конечно, и глупо, если только… если только… В нашем нормальном восприятии ничто есть ничто, а вот в математике это – обычная вещь. Просто все, что нам необходимо сделать, это определить соответствующее множество.
Множество — это набор определенных элементов (например, чисел) которые обладают общим для всех них характеристиками. Так, множества из 2, 4 и 8 обозначается {2, 4, 8}, и это то же самое, что и {4, 2, 8}, потому что он имеет те же элементы. Если каждый элемент одного множества включен в другое множество, то первое множества является подмножеством второго множества. Следовательно, {4} является подмножеством {2, 4, 8}, которое является подмножеством множества, которое включает в себя все четные числа, а множества {2, 6} не является подмножеством {2, 4, 8}, потому что {2, 6} имеет элемент 6, который не включен в {2, 4, 8}.
В математике существует понятие безэлементного множества, или, другими словами, «Пустое множество» (обычно обозначается символами Ø или {}). Пустое множество — это подмножество каждого множества — вы не можете его «увидеть», потому что мы не пишем {2, 4, 8, Ø}, но оно все еще там. Ну и что же это такое, как не… Да! А еще есть метод, который определяет все натуральные числа (0, 1, 2, 3, 4,…) из комбинации множества пустых множеств (но мы не будем обсуждать этот случай здесь). Странность (кто-то скажет: «Ерунда!»), но да, такой метод существует — вы можете прочитать об этом, найдя в поисковике «Определение порядковых чисел по фон Нейману».
Поскольку Алиса проходит через множество различных математических курьезов и странностей, то, что она видит «ничто», не должно вызывать удивления. Что касается логики — она настолько хороша, насколько это представляется возможным. Кстати, Красная Королева сформулировала все это так:
– Я просто хотела взглянуть на сад, Ваше Величество…
Глава II САД, ГДЕ ЦВЕТЫ ГОВОРИЛИ
– Понятно, – сказала Королева и погладила Алису по голове, что не доставило той ни малейшего удовольствия. Оглядевшись, Королева прибавила:
– Разве это сад? Видала я такие сады, рядом с которыми этот – просто заброшенный пустырь!
Алиса не осмелилась ей перечить и продолжала:
– А еще я хотела подняться на вершину холма…
– Разве это холм? – перебила ее Королева. – Видала я такие холмы, рядом с которыми этот – просто равнина!
– Ну, нет! – сказала вдруг Алиса и сама удивилась, как это она решается возражать Королеве. – Холм никак не может быть равниной. Это уж совсем чепуха!..
– Разве это чепуха? – сказала Королева и затрясла головой. – Слыхала я такую чепуху, рядом с которой эта разумна, как толковый словарь!
Смысл и бессмыслица
Сегодня мы не успели поговорил о таких жемчужинах как «Ну, а здесь, знаешь ли, приходится бежать со всех ног, чтобы только остаться на том же месте!» или о бесконечном цикле снов Красного Короля об Алисе, которой снится Красный Король, которому снится Алиса (и так далее, до бесконечности). Значит, наш разговор обязательно будет иметь продолжение.
А по примеру некоторых персонажей Кэрролла, давайте вспомним с чего мы начали наше сегодняшнее путешествие. Все началось с вопроса о том, может ли Зазеркалье влиять на наш мир, и если да, то как? Да, потузеркальный мир полон бессмыслиц и абсурдных ситуаций (может слегка преувеличенных фантазией писателя), но то, что на первый взгляд кажется нонсенсом и невозможным, основано на тех-же фундаментальных законах, на которых построен и наш мир. А это значит, что наши миры не так уж и далеки, и без сомнения влияют друг на друга.
– Не клянись, – сказала Королева. – Я тебе и так верю! А вот теперь и ты попробуй мне поверить: мне ровно сто один год, пять месяцев и один день!– Не может быть! – воскликнула Алиса. – Я этому поверить не могу!
Глава V ВОДА И ВЯЗАНИЕ
– Не можешь? – повторила Королева с жалостью. – Попробуй еще раз: вздохни поглубже и закрой глаза.
Алиса рассмеялась.
– Это не поможет! – сказала она. – Нельзя поверить в невозможное!
– Просто у тебя мало опыта, – заметила Королева. – В твоем возрасте я уделяла этому полчаса каждый день! В иные дни я успевала поверить в десяток невозможностей до завтрака!
Напоследок процитируем Stephanie Pradier из ее выступления в программе The Science Show:
«Бессмыслица открывает разуму бесконечные возможности нашего мира и позволяет нам думать о множестве невозможных вещах… Я считаю, что человеческая душа нуждается в бессмыслице так же, как ей нужны искусство, литература, музыка и математика…»
Статьи по теме: