Математика окружает нас везде и всюду. Она в природе, технике, в основе современной цивилизации, да, что там говорить, мы сами и есть математика – теоретически и по существу… Не удивительно, что математика вдохновляет не только ученых, но и деятелей исскуства: она давно вышла из университетских аудиторий и заняла прочное место, например, в искусстве. Некоторые художники-графики даже изображают сами математические принципы. В статье «Бесконечная живопись» мы обсуждали потрясающие (и не только с математической точки зрения) картины М. Эшера. Естественно, что живописцы в этом не уникальны, представители других творческих дисциплин черпают свое вдохновение в королеве наук. Наверно, один из наиболее известных примеров – это замечательная книга Чарльза Лютвиджа Доджсона «Приключения Алисы в стране чудес» (название обычно сокращается до «Алиса в стране чудес»).
Да, да, именно Чарльза Лютвиджа Доджсона, а не Льюиса Кэрролла. Вообще, был ли «Льюис Кэрролл» просто псевдоним, остается до сих пор загадкой. Видите ли, Чарльз был математиком и преподавал эту науку в университете. Его лекции были скучными и утомительными, в них не было места ничего волшебному или хотя бы загадочному. А у писателя Кэрролла была совершено другая жизнь. Чарльз-Льюис сам пытался разделить эти две сущности, причем зашел настолько далеко, что получая по своему рабочему адресу в Оксфорде письма на имя Льюиса Кэрролл , возвращал их авторам с припиской, что письма не нашли своего адресата.
Многим известен следующий анекдот: «Королеве Виктории настолько понравились приключения Алисы, что она попросила прислать ей копию следующей книги Кэрролла. Естественно, просьба Ее Величества – закон, и Кэрролл послал ей свою следующую работу – математический трактат «Элементарное руководство по теории детерминантов». Впрочем, эта история в действительности никогда не происходила; более того, сам Кэрролл опровергал ее. И все-таки она дает кое-какое объяснение о странностях двойной жизни Доджсона-Кэрролла.
Вроде бы разумно предположить, что его непростой характер и жизнь, наполненая бурлящей смесью теорем и творчества, должны были отразиться и в его произведениях. «Алиса в стране чудес» полна нонсенса, абсурда, каламбуров, сумасшедших идей и незабываемых персонажей. И, конечно же, математики! Льюис Кэрролл так изящно вплел математику в свою книгу, что многие читатели (и юные, и умудренные опытом) просто не обратят на это внимание. Однако, перечитав книгу еще раз или два и немного подумав, они увидят совершенно другую картину. Книга не только занимает читателя историями о жизни и культуре в кэрролловской Англии, но и переполнена математическими задачами и идеями.
Вычисление
Все начинается в самой первой главе («в которой Алиса чуть не провалилась сквозь землю»), когда Алиса отчаянно хочет войти в волшебный сад. Но, как нам известно, проблема в размере: Алиса слишком большая, чтобы войти в маленькую дверь. Она находит бутылочку, и надеется, что ее содержимое сделает ее меньше. Алиса пробует ее, и…
Спорить с этим было трудно: к этому времени в ней осталось всего лишь четверть метра. Алиса так и сияла от радости, уверенная, что она теперь свободно может выйти в чудесный сад. Но все-таки она решила на всякий случай немного подождать и убедиться, что она уже перестала уменьшаться в росте. «А то вдруг я буду делаться все меньше, меньше, как свечка, а потом совсем исчезну! — не без тревоги подумала она.- Вот бы поглядеть, на что я буду тогда похожа».
И она попыталась вообразить, на что похоже пламя свечи, когда свеча погасла, но это ей не удалось,- ведь, к счастью, ей этого никогда не приходилось видеть…
Почему Алиса испугалась, что может исчезнуть? Когда кто-то или что-то сжимается, то просто изменяет свой размер, становясь все меньше и меньше, но полностью не исчезает. Разве не так? В принципе — да, но в математике существует и другой подход, который описывается концепцией предела.
Может, кто-то из наших читателей еще помнит из школьной программы: допустим, мы имеем функцию f с входными данными в начале и результатом в конце. Примем за заданный параметр функции f переменную х, а за результат f(x) (например, f (x) = х2, где для х = 2, f(2) будет равно 4) . Иногда функция имеет предел L. Если функция имеет предел L в заданной точке p, то с приближением х к значению р, f (x) будет приближаться к L. То есть, в математическом пределе функция может никогда не достигнуть L. Она может постоянно приближаться к L, но никогда не достичь этого значения. Тем не менее, мы можем сказать, что предел равен L, и обычно используем его так, как если бы функция действительно достигла его в какой-то момент. Также и Алиса, которая будет сжиматься и становиться все меньше и меньше, пока окончательно не исчезнет, как и пламя свечи.
Системы счисления
Еще один интересный пример можно найти во второй главе («в которой Алиса купается в слезах»). Алиса, а может, уже и не Алиса вовсе, проверяет собственную память, декламируя стихотворения. Но, увы, слова выходят немного другие, чем должны быть. Она также пробует порешать вслух математические упражнения, и, вероятно даже не осознавая этого (или наоборот), приходит к очень интересным выводам:
Ну-ка: четырежды пять — двенадцать, четырежды шесть — тринадцать, четырежды семь… Ой, мамочка, я так никогда до двадцати не дойду!
Эта мысль Алисы, как и многие другие, просто великолепна: таки-да, ее можно интерпретировать по-разному.
Результаты умножения определенно странные, и действительно потребуется некоторое время (или «никогда» в терминологии Алисы), чтобы добраться до двадцати. Большинство читателей посмеются и продолжат чтение. Но я остановлюсь на минуту, и вместе с дотошными читатели подумаю: «А, действительно, почему Алиса не может досчитать до двадцати? Что такого сакрального в этом числе?»
Одно из объяснений заключается в том, что в кэролловские время таблица умножения доходила не до десяти (10 х 10), а до двенадцати (12 х 12). А теперь продолжим странную схему «умножения» Алисы: 4 x 5 = 12, 4 x 6 = 13, 4 x 7 = 14, …, 4 x 10 = 17, 4 x 11 = 18, 4 x 12 = 19 и… здесь таблица умножения заканчивается! В таблице нет 13, поэтому нет смысла спрашивать, сколько будет 4, умноженное на 13 — это где-то за пределами вычисления! Поэтому, используя этот странный метод, бедная девочка никогда не достигнет 20.
Итак, Алиса поняла, что есть нечто более глубокое в простой задачке, или, по крайней мере, Льюис Кэрролл намекнул нам об этом.
А теперь взглянем на это упражнение с другой стороны: а что, если мы вообще не будем использовать десятичную систему счисления? В системах счисления мы используем различные символы (обычно цифры, но иногда и буквы) для представления чисел. Мы обычно используем десятичное основание, которое имеет 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. А что делать, если мы хотим получить число больше 9? Мы берем первые две цифры, 0 и 1, и объединяем их вместе: 10, затем 11, затем 12, и так далее. В конце концов мы получаем 19, и снова у нас заканчиваются цифры, поэтому мы берем вторую цифру 2 и первую 0 и объединяем их вместе, чтобы получить 20, затем 21, затем 22 и так далее.
Но что, если бы у нас было в распоряжении только 4 цифры: 0, 1, 2, 3. В четверичной системе счисления (или, так называемой, основание 4) нет символа «4». А как нам перейти к следующему числу после 3? Как и раньше, возьмем первые две цифры: 10, 11, 12, 13, чтобы продолжить подсчет, и используем ту же уловку: 10 в основании 4 (также обозначается как 104) — 4 (в привычном нам десятичном основании), 114 — 5, 124 — 6 и так далее. 20 в основании 4 (204) – это 8. Получается, что мы можем представить любое число с помощью только 4 символов!
Компьютеры используют двоичную систему (основание 2), которая использует только две цифры: 0 и 1. Там не используются цифры «2» или «3» — эти символы отсутствуют в двоичной системе. Поэтому для получения всех других чисел, мы обьединяем 0 и 1 в разных сочетаниях: 10 (точнее: 102), затем 112, 1012, 1102 и так далее (вы можете увидеть соответствие этих значений с аналогами в десятичном основании в таблице).
Другое основание, часто используемая в мире технологий, это шестнадцатеричная система (основание 16). В ней используются 16 символов для обозначения цифр : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Действительно, здесь используются буквы AF, как цифры. A в основании 16 (A16) – 10 в десятичной системе счисления, B16 – 11, C16 – 12, D16 – 13, E16 – 14, F16 – 15. Если мы хотим продолжить после 15 (или F), мы используем первые две цифры и получаем 10 в основании 16 (1016), что составляет 16 в десятичном основании. 1116 – это 17, 1216 – это 18 , …, 1916 – 25, и если вы думаете, что следующее по порядку 20, то вы ошибаетесь. У нас ведь есть еще несколько цифр, обозначенных буквами (AF): 1A16 соответствует 26, 1B16 – 27, …, 1F16 – 31. Наконец, мы получаем 2016, что составляет 32 в десятичном основании. Сначала немного сбивает с толку, но в конце концов каждый можем привыкнуть и к этому.
Возвращаясь к задаче Алисы: 4 × 5 = 12 истинно в основании 18 (так что на самом деле это 418 × 518 = 1218), 4 × 6 = 13 верно в основании 21, а 4 × 7 равно 14 в основании 24. Продолжая эту последовательность, поднимаясь каждый раз на три основания, результат будет по-прежнему меньше 20 в соответствующем основании. После того, как 4 × 12 = 19 в основании 39, следующий 4 × 13 = 1А в основании 42, которое является «странным» числом, а не замечательным «20». Далее, 4 × 14 = 1B в основании 45 , 4 × 15 = 1C в основании 48 , 4 × 16 = 1D в основании 51 , 4 x 17 = 1E в основании 54, 4 × 18 = 1F в основании 57, 4 x 19 = 1G в основании 60! Прирост в числовой последовательности (12, 13, 14) составляет 1, но прирост в последовательностях оснований (54, 57, 60) — 3. То есть, Алиса никогда не доберется до 20, потому что основание также увеличивается, поэтому число доступных символов (представляющих цифры) будет расти, и это происходит даже быстрее, чем умножение. Мы получим 1H, 1I, 1J и так далее, а после того, как все буквы «закончатся», будем использовать другие символы. Но …барабанная дробь!… мы никогда не получим в результате число 20!
Логика
Все рассмотренные выше курьезы очень любопытны, но без всякого сомнения, с математической точки зрения, именно математической логике отводится в книге поистинне королевское место. Кстати, хотя Доджсон старался развивать геометрию и алгебру, но до сих пор его помнят как исследователя и новатора матлогики.
Вот несколько примеров:
В пятой главе недоверчивая Голубка подозревает, что Алиса — змея, и ее логические рассуждения построены на факте, что у Алисы в тот момент была чрезвычайно длинная шея:
— Не мало повидала я на своем веку разных девочек, но чтобы у девочки была та-а-а-кая шея! Нет, не на дуру напала! Ты змея, вот кто ты такая! И лучше не ври! Ты мне еще скажешь, что никогда яиц не ела.
— Яйца я, конечно, ела,- сказала Алиса — она была на редкость правдивый ребенок.- Девочки ведь тоже едят яйца.
— Быть того не может,- сказала Голубка.- Ну, а уж если правда едят, значит, они просто-напросто змеи, только особой породы! Вот тебе и весь сказ!
Алису так поразила эта — совершенно новая для нее — мысль, что она в растерянности умолкла.
Это определенно логическое построение, хоть и неверное. Голубка основывает свое утверждение, что все змеи любят есть яйца, а если и Алиса ест яйца, тогда верно, что Алиса – змея. Данное утверждение является ошибочным с точки зрения матлогики (вы можете прочитать об этом подробнее в книге “Logic in Wonderland: An Introduction to Logic through Reading Alice’s Adventures in Wonderland” by Nitsa Movshovitz-Hadar and Atara Shriki).
Есть и другие, не менее смешные и ошибочные логические утверждения (конечно, мы не можем привести здесь все примеры, ну, может быть, самые замечательные).
Из главы шестой:
— В этой стороне- Кот помахал в воздухе правой лапой,- живет некто Шляпа. Форменная Шляпа! А в этой стороне,- и он помахал в воздухе левой лапой,- живет Очумелый Заяц. Очумел в марте. Навести кого хочешь. Оба ненормальные.
— Зачем это я пойду к ненормальным? — пролепетала Алиса.- Я ж… Я лучше к ним не пойду…
— Видишь ли, этого все равно не избежать,- сказал Кот,- ведь мы тут все ненормальные. Я ненормальный. Ты ненормальная.
— А почему вы знаете, что я ненормальная? — спросила Алиса.
— Потому что ты тут,- просто сказал Кот.- Иначе бы ты сюда не попала.
Хотя такой ответ не совсем устраивал Алису, она не могла удержаться от дальнейших расспросов.
— А почему вы знаете, что вы ненормальный? — спросила она.
— Начнем с собаки,- сказал Кот.- Возьмем нормальную собаку, не бешеную. Согласна?
— Конечно! — сказала Алиса.
— Итак,- продолжал Кот,- собака рычит, когда сердится, и виляет хвостом, когда радуется. Она, как мы условились, нормальная. А я? Я ворчу, когда мне приятно, и виляю хвостом, когда злюсь. Вывод: я — ненормальный.
И прекрасный пример из главы седьмой:
Шляпа сделал большие глаза — видимо, это замечание его сильно удивило. (Хорошенько подумав, его можно понять!)
Однако в ответ он сказал вот что: — Какая разница между пуганой вороной и письменным столом?
«Вот это совсем другой разговор! — подумала Алиса.- Загадки-то я люблю! Поиграем!»
— Кажется, сейчас отгадаю,- прибавила она вслух.
??? По-моему, эта загадка труднее даже знаменитой загадки про полотенце («Висит на стенке, зеленый, длинный, и стреляет»). Там хотя бы есть отгадка («Почему стреляет? — Чтобы труднее было отгадать!»). А эту загадку не оттадал еще никто на свете. Если вам удастся ее отгадать, немедленно напишите в Академию наук.
— Ты думаешь, что могла бы отыскать отгадку? — удивленно спросил Заяц.
— Конечно,- сказала Алиса.
— Так бы и сказала! — укоризненно сказал Заяц.- Надо говорить то, что думаешь!
— Я всегда так и делаю! — выпалила Алиса, а потом, чуточку подумав, честно прибавила: — Ну, во всяком случае… во всяком случае, что я говорю, то и думаю. В общем, это ведь одно и то же!
— Ничего себе! — сказал Шляпа.- Ты бы еще сказала: «я вижу все, что ем», и я «ем все, что вижу» — это тоже одно и то же!
— Ты бы еще сказала,- подхватил Заяц,- «я учу то, чего не знаю» и «я знаю то, чего не учу» — это тоже одно и то же!
— Ты бы еще сказала,- неожиданно откликнулась Соня, не открывая глаз,- «я дышу, когда сплю» и «я сплю, когда дышу» — это тоже одно и то же…
— Ну для тебя-то это одно и то же,- сказал Шляпа, и на этом беседа оборвалась.
Пока все молчали, Алиса лихорадочно пыталась вспомнить все, что ей было известно про пуганых ворон и письменные столы. Сведений у нее, увы, было не так много.
И, конечно-же, маленькая беседа из той-же главы:
— Почему ты не пьешь больше чаю? — спросил Заяц заботливо.
— Что значит «больше»? — обиделась Алиса.- Я вообще ничего тут не пила!
— Тем более! — сказал Шляпа.- Выпить больше, чем ничего,- легко и просто. Вот если бы ты выпила меньше, чем ничего,- это был бы фокус!
Верхушка айсберга
Конечно, наше обсуждение — это только самое начало, даже не верхушка айсберга, просто маленький кусочек льда. В книге еще очень много завуалированных математических задачек, курьезов, парадоксов. Кстати, а вы сможете их найти? Там есть еще и модульнуя арифметика, и абстракции – список можно продолжать еще очень долго, и это занимательное обсуждение мы продолжим в наших следующих постах.
А закончить сегодняшнюю статью я хочу цитатой из главы 9:
— А сколько у вас в день было уроков? — спросила Алиса: ей хотелось поскорее отвлечь собеседников от печальных мыслей.
— Как обычно: в первый день десять уроков,- сказал Деликатес,- на Следующий — девять, потом восемь и так далее.
— Какое смешное расписание! — воскликнула Алиса, быть может, не без зависти.
— А с нашими учителями иначе не получалось,- сказал Грифон.- Текучий состав: каждый день кто-нибудь пропадал. Поэтому их и называют преподаватели, кстати.
Алиса слушала его краем уха: ее весьма заинтересовала сама мысль о том, чтобы каждый день заниматься на час меньше.
— Так, выходит, на одиннадцатый день у вас уже были каникулы? — спросила она, закончив подсчеты.
— Само собой! — ответил Деликатес.
— А как же потом? — с еще большим интересом спросила Алиса.
— Вот что: хватит про науки! — решительно прервал Грифон.- Ты расскажи ей, старик, как мы в наше время веселились.
В статье использовались цитаты из книги Льюиса Кэрролла «АЛИСА В СТРАНЕ ЧУДЕС» в пересказе с английского БОРИСА ЗАХОДЕРА и иллюстрации из оригинального издания “Alice’s Adventures in Wonderland” 1865 года (художник Sir John Tenniel).
Featured image by Sir John Tenniel — “Alice’s Adventures in Wonderland” (1865) with additions of a few mathematical symbols.