Каждый из нас, кто интересуется удивительным миром науки и техники, рано или поздно обязательно открывает для себя тему измерений. Нет, речь идет не о параллельных (хотя это также преувлекательная тема для научной дискуссии), а о пространственных измерениях, таких как высота, длина, ширина (глубина) и т.п. А теперь давайте пофантазируем: как будет выглядеть многомерный мир? Четырех- или пятимерный мир? И наоборот: какая замечательная (или нет?) жизнь была бы в двумерном мире?
Многомерные и маломерныe миры являются не только предметом фундаментального изучения математиками, физиками, биологами, но и темой многочисленных произведений искусства, литературы, кинематографа, компьютерных игр. Естественно, что такая животрепещущая тема не могла остаться вне поля внимания авторов Take in Mind. Мы приглашаем вас в многомерное математическое путешествие. Подобно античным мореплавателям мы пускаемся в путь, абсолютно не предполагая куда заведет нас эта сюрреалистическая дорожка. Все наши открытия будут представлены в этой и будущих статьях в нашей новой серии «Измерения».
Но, прежде всего, нам просто необходима правильная стартовая точка (или, если хотите, дорожное «напутствие»). Лучшим помощником в этом нам послужит роман Эдвина А. Эбботта «Флатландия». Английский ученый и писатель Эдвин А. Эбботт (1838-1926) изучал антиковедение, математику и теологию; стал директором школы Лондонского Сити, когда ему было всего 26 лет. В 1884 году он написал свое самое известное произведение «Флатландия», которое повествует о двумерном мире и существах, населяющих это удивительный (со всех точек зрения) мир.
Действие романа происходит в двумерном мире под названием Флатландия. Рассказчик, местный житель Квадрат, сатирически описывает различные сферы жизни своего мира. Квадрат подробно рассказывает о связи социальной иерархии с количеством и правильностью углов жителей, о быте и природе необычного мира, и, самое любопытное, о своих путешествиях в нулевой, одномерный, и трехмерный миры.
Давайте пробежим глазами несколько строк первой главы (приводится по изданию Эдвин А. Эбботт «Флатландия» Издательство «Мир» (1976)):
Я называю наш мир Флатландией не потому, что мы сами называем его так, а лишь из желания сделать его природу более понятной для вас, мои счастливые читатели, которым выпала честь жить в Пространстве.
Представьте себе огромный лист бумаги, на котором Отрезки прямых, Треугольники, Квадраты, Пятиугольники, Шестиугольники и другие фигуры, вместо того чтобы неподвижно оставаться на своих местах, свободно перемещаются по всем направлениям вдоль поверхности, не будучи, однако, в силах ни приподняться над ней, ни опуститься под нее, подобно теням (только твердым и со светящимися краями), и вы получите весьма точное представление о моей стране и моих соотечественниках. Увы, несколько лет назад я бы сказал о «моей Вселенной», но теперь моему разуму открылись более высокие представления о вещах.
Как вы, должно быть, сразу же поняли, в нашем мире не может существовать ничего такого, что вы привыкли называть «объемным». Смею думать, что вы полагаете, будто мы можем по крайней мере отличать по виду Треугольники, Квадраты и другие фигуры, которые передвигаются описанным выше способом. Вы глубоко заблуждаетесь: нам не дано непосредственно ощущать различие между фигурами, по крайней мере различать их по виду. Мы не видим, да и не могли бы видеть ничего, кроме Отрезков прямых. Чем это вызвано, я постараюсь сейчас объяснить.
Положите на какой‐нибудь стол в своем Пространстве монету достоинством в один пенни и, наклонившись над столом, посмотрите на него сверху. Монета покажется вам кругом.
Приняв затем вертикальное положение, начните медленно приседать таким образом, чтобы луч вашего зрения постепенно приближался к поверхности стола (а вы сами все более и более приближались бы к состоянию обитателей Флатландии). Вы увидите, что монета перестанет казаться вам кругом и примет овальную форму. Когда же, наконец, луч вашего зрения совместится с поверхностью стола (а вы как бы станете флатландцем), то монета вообще перестанет быть овалом и покажется вам, как вы сможете убедиться, отрезком прямой.
То же произойдет и в случае, если вместо монеты вы возьмете Треугольник, Квадрат или любую другую фигуру, вырезанную из картона. Стоит вашему лучу зрения совместиться с поверхностью стола, как любая фигура утратит свой вид и покажется вам отрезком прямой. Возьмем, например, равносторонний Треугольник, во Флатландии такие треугольники являются представителями уважаемого класса — купечества, Каким вы увидите купца, если посмотрите на него сверху, показано на рисунке а, каким он предстанет перед вами, если луч вашего зрения будет все более приближаться к поверхности стола, не совпадая с нею полностью, видно из рисунков б и в. Если же луч вашего зрения сольется с поверхностью стола (именно так мы и смотрим на купца во Флатландии), то вы не увидите ничего, кроме прямолинейного отрезка.
В бытность свою в Трехмерии мне довелось слышать о том, что и ваши моряки испытывают нечто подобное, когда, странствуя по морям, открывают остров или землю, лежащие у самого горизонта. Еле видимый берег может быть изрезан бухтами, мысами, может иметь сколько угодно выступов и впадин любой протяженности, тем не менее с большого расстояния вы не увидите ничего (если только ваше солнце своими яркими лучами не отбросит тени, делающие заметными каждый бугорок и любую впадину), кроме сплошной серой линии на поверхности воды.
Именно такую картину мы наблюдаем во Флатландии, когда к нам приближается Треугольник или какой-нибудь другой знакомый. Поскольку у нас нет ни солнца, ни какого‐либо другого источника света, который отбрасывал бы тени, ничто не может помочь нам различить знакомых по виду так, как вы различаете их в своем Трехмерии. Если наш друг приближается к нам, отрезок увеличивается прямо‐таки на глазах. Если он удаляется от нас, отрезок уменьшается. Но наш знакомый всегда выглядит для нас отрезком прямой. Независимо от того, имеет ли он форму Треугольника, Квадрата, Пятиугольника, Шестиугольника, Окружности, мы всегда увидим Отрезок прямой и ничего больше.Возможно, вы захотите узнать, каким образом при столь неблагоприятных обстоятельствах мы умудряемся отличать наших знакомых друг от друга. Ответить на этот весьма естественный вопрос мне будет легче и уместнее, когда я перейду к описанию обитателей Флатландии. Пока же я на время оставлю эту тему и скажу несколько слов о климате и жилищах в нашей стране.
Действительно, жить во Флатландии не так уж и просто. Впрочем, мы не хотим лишать вас удовольствия прочитать истории Квадрата. Мы уже писали о математике в искусстве («Бесконечная живопись») и литературе (в нашей серии о Алисе — часть 1, часть 2), и, если эти темы близки вашему сердцу, мы настоятельно рекомендуем вам прочитать книгу Эбботта. Математика в каждой строке книги, но при этом книга понятна и легка для прочтения. Настолько понятна, что Айзик Азимов в предисловии к изданию «Флатландии» (1984) отрекомендовал ее следующим образом: «Это лучшее введение в способ восприятия измерений, которое может быть найдено».
По иронии судьбы, сразу после публикации роман не получил признания у широкой публики. В статье об Эбботте в Национальном биографическом словаре «Флатландия» даже не упоминается. Второе «рождение» книга получила после публикации общей теории относительности Альберта Эйнштейна. То есть, в каком-то смысле Эбботт опередил свое время, предложив революционные методы и объяснения ряда явлений. В общем, обязательно прочитайте… И готовьтесь к новой порции занимательных историй в следующей статье этой серии. Оставайтесь на связи в нашем измерении!
Featured image by 95C from Pixabay.
Статьи по теме: