Наше воображение может охватить самые далекие страны и самые далекие космические миры. А если посмотреть еще дальше? Другие измерения? Можно пофантазировать, почему бы и нет…
Единственная проблема с путешествием в подобный многомерный мир на воображаемой многомерной ракете заключается в том, что даже физически представить себе такое очень непросто (давайте на время исключим время как известное нам четвертое измерение). Подобная задача, которая в состоянии свести с ума любого нормального фантаста, прекрасно иллюстрируется известным научным анекдотом:
Математик и его лучший друг, инженер, сходили на лекцию по геометрии тринадцатимерного пространства.
«Как тебе понравилась лекция?» – интересуется математик.
«Голова кружится», – признается инженер,– «Как можно воспринимать интуитивно тринадцатимерное пространство?»
«Ну, это совсем не сложно!» – пожимает плечами математик – «Все, что я делаю, это визуализирую ситуацию в произвольном N-мерном пространстве, а затем устанавливаю N на 13».
Чтобы сделать наше путешествие возможным, лучше все делать постепенно, шаг за шагом, измерение за измерением. Для начала, давайте вспомним нашу предыдущую статью-введение «Измерения: Путешествие в многомерный мир«. А еще нам понадобятся (кроме, разумеется, хорошего воображения) какие-нибудь вспомогательные инструменты. Мы рекомендуем начать с чего-нибудь знакомого: например, с тессеракта.
Многие, вероятно, подумают, что мы имеем в виду могущественный артефакт, который представляет собой источник неограниченный силы инопланетного происхождения, связанный с Камнями Бесконечности. Это потрясающе, но кинопродукция Вселенной Марвел мало связана с геометрическим тессерактом, который мы, собственно, и собираемся обсудить в этой статье (N.B. Хотя… Здесь вы сможете найти некоторые ссылки на геометрический тессеракт из этих фильмов — поищите их!).
В геометрии тессеракт, известный также как гиперкуб, представляет собой четырехмерный куб. Поскольку кубики знакомы нам всем с детства, они станут для нас самым доступным помощником в наших изысканиях четырехмерного мира. С другой стороны, для некоторых может показаться сюрпризом, что оба следующих изображения (левое и правое) представляют собой прекрасно нарисованные кубы:
Нет, мы еще в здравом уме и даже не лакомились одним из любимых грибов Алисы. Как некоторые, возможно, догадались, точка — это куб, но только в нульмерном пространстве. Теперь смотрим вправо…Ищущие смысл, минуточку терпения! Во-первых, обратите внимание: то, что мы видим на правом изображении, на самом деле не куб, а представление куба на плоском двухмерном экране. Вот почему красные линии пересекаются с зелеными, и , как результат, в изображении нет «глубины» (но для схематичного изображения – это нормально). Другими словами, получается проекция трехмерного куба в двумерное пространство. Зелено-синие квадраты выглядят не как квадраты, а как параллелограммы — это своеобразная игра с двухмерным пространством, но мы все понимаем, что эти параллелограммы здесь представляют квадраты.
А теперь, чтобы понять, что такое четырехмерный куб, пойдем поэтапно от простого к сложному – от нулевого измерения к четырехмерному.
Между кубом и квадратом много общего; они — родственники. Куб состоит из пары параллельных квадратов, соединенных таким образом, что образуется еще одна пара параллельных квадратов.
Квадрат состоит из пары параллельных линий, соединенных таким образом, что образует еще одну пару параллельных линий. Если растянуть это немного дальше, мы можем сказать, что точка — это нульмерный куб. Скопировав её, отодвинув в сторону и соединив с исходной точкой, мы создаем отрезок линии, который представляет собой одномерный куб. Повторяя эту процедуру, копируя отрезок линии, перемещая в сторону (на то же расстояние, что и длина отрезка) и соединяя его, мы получаем квадрат. Если мы скопируем квадрат и соединим оба квадрата, получим куб; а если скопируем куб и соединим их, то получим… Абсолютно верно, тессеракт!
Куб состоит из квадратов, а тессеракт — из кубов. Кубики на изображении трудно увидеть, но это ограничение двухмерной проекции. Вращая тессеракт, мы можем рассмотреть его с разных точек зрения:
Теперь, когда вы поняли принцип строительства четырехмерного куба, вы можете представить (еще лучше, нарисовать) пяти-, шести-, семи- и так далее многомерные гиперкубы. Просто следуйте тому же методу: копируйте куб меньшего измерения, соединяйте копии, и… дело в шляпе!
Как это ни удивительно, но гиперкубы используются в реальной жизни нашего трехмерного мира (не волнуйтесь, мы все еще помним про время!); более того, используются в практических целях. Многомерные кубы применяются для проектирования соединения компьютеров в сети и в кодах Грея для предотвращения ложных излучений от электромеханических переключателей и для облегчения исправления ошибок в цифровой связи (например, в цифровой наземной связи и в некоторых системах кабельного телевидения).
Итак! В нашем распоряжении появился новый инструмент для успешного продолжения нашего путешествия в многомерный мир. Чтож, фантазируем и практикуемся. Кстати, напоследок маленькое домашнее задание: а сможете ли вы произвести подобные превращения с треугольником? Подсказочка: Симплекс.
Изображение от Джейсона Хайза, Public Domain.
Статьи по теме: