В серии статей «Измерения» мы медленно, но верно, продвигаемся в изучении секретов четырехмерного мира. Мы уже познакомились с гиперкубом, вернее, с его четырехмерной версией — тессерактом. Впрочем, осмелюсь тихо высказать предположение: при всей захватывающей природе кубов (и даже четырехмерных), они все же довольно просты. Согласны? Если да, то я предлагаю сделать следующий шаг и попробовать разобраться с более сложной четырехмерной фигурой! Которая, к тому же, обладает весьма специфичными свойствами. Итак… (барабанная дробь)… Позвольте вам представить бутылку Клейна.
Давайте начнем с самого простого квадрата:
Теперь возьмем этот квадрат и немного над ним «поработаем» — склеим одну из параллельных пар (по направлению стрелок)… У нас получился цилиндр!
А что, если бы одна из стрелок была направлена в противоположную сторону, т. е. вверх, а не вниз? И нам необходимо склеить стороны таким образом, что после склеивания стрелки были бы направлены в одну сторону. Что у нас получается?
Полученная форма (а это ничто иное, как лента Мёбиуса) интригует и вдохновляет ученых и людей искусства на протяжении многих веков.
Вы можете легко сделать свою собственную ленту Мёбиуса. Возьмите обыкновенный лист бумаги, поверните один конец наполовину (180 градусов) и соедините концы вместе. Но если быть честным (и точным), это не совсем правильная лента Мёбиуса. Это больше ее визуализация, потому что реальная лента Мёбиуса двумерна и не имеет ширины, в то время как полученная бумажная форма трехмерна и имеет ширину.
И естественно, вы можете задаться вопросом: что же в этой фигуре такого интригующего и вдохновляющего? В конце концов, это просто перекрученная лента. А секрет в том, что у ленты Мебиуса… «одна» сторона. То есть? Если взять цилиндр, то четко можно определить две стороны: внешнюю поверхность можно покрасить в один цвет, а внутреннюю — в другой. Но попробуете покрасить одну из сторон ленты Мёбиуса — вы убедитесь, что покрыли всю фигуру одним цветом. Точно так же мяч на рисунке катится по тому, что на первый взгляд кажется «внутренней» и «внешней» сторонами фигуры, но, на самом деле, мяч бежит по одной стороне.
Но нас интересует более сложная форма, и мы хотим, чтобы она была в 4D! А теперь вопрос: можете ли вы представить, что получится, если склеить две ленты Мёбиуса? Впрочем, давайте пока оставим этот вопрос открытым. И сразу второй вопрос: какая форма получится, если склеить стрелки этого квадрата (соедините стрелки одного цвета и направления)?
Это достаточно просто! Сначала нам нужно выбрать стрелки одного цвета и соединить его вместе. Получили цилиндр (как мы уже видели раньше). Теперь соединяем две оставшиеся стрелки и получите тор (форма в виде «пончика»):
А что, если бы одна пара стрелок была бы направлена в противоположном направлении?
Мы уже знаем, что таким образом задача усложняется на порядок. Подобно тому, как лента Мёбиуса похожа на цилиндр, но с полуповоротом, полученная фигура похожа на тор, но с «перекруткой»:
Эта фигура и есть бутылка Клейна. Точно так же, как лента Мёбиуса представляет собой двухмерную форму, но в трехмерном мире, бутылка Клейна представляет собой двухмерную фигуру, которая «встроена» в четырехмерный мир.
By Tttrung — Own work, CC BY-SA 3.0
Когда мы рассматриваем бутылку Клейна в нашем трехмерном мире, мы видим ее как самопересекающуюся — но в четырехмерном измерении этого не происходит. В нем она не пересекается. Как и лента Мёбиуса, бутылка Клейна имеет только «одну» сторону. То есть в ней нет разделения на внутреннюю и внешнюю поверхности. Следовательно, нет объема. Не торопитесь, спокойно проверьте – вышеприведенный рисунок вам в помощь.
Теперь вернемся к вопросу о склеивании двух лент Мёбиуса — вы уже догадались, что за форма, которую вы получите? Да, это вновь бутылка Клейна!
Здорово, не правда ли? Интригует, не правда ли? Вдохновляет, не правда ли? Еще и превращает математиков в поэтов… Кстати, вот вам пример. Австрийско-канадский математик Лео Мозер (1921-1970) посвятил бутылке Клейна лимерик:
A mathematician named Klein
Thought the Möbius band was divine.
Said he: «If you glue The edges of two,
You’ll get a weird bottle like mine.
Ленту Мебиуса боготворя,
Клейн придумал бутыль для вина,
Хоть и форма ее неуклюжа,
Что внутри, то есть и снаружи!
Нет начала в ней, нет в ней конца…
Featured image: By Alex Healing — Spiral Klein Bottle, CC BY 2.0
Статьи по теме: