— Почему курица перешла дорогу?
— Чтобы перейти на другую сторону.
—
— Почему курица пересекла ленту Мёбиуса?
— Чтобы попасть на ту же сторону.
Вы знакомы с лентой Мёбиуса? Перекрученная полоса, которая на первый взгляд кажется двусторонней, а на самом деле односторонняя? Если нет, мы предлагаем вам познакомиться с нашей статьей «Измерения: Странная четырехмерная бутыль». А что, если я скажу вам, что в ходе истории ленту независимо открывали снова, и снова, и снова? Причем, каждый раз с совершенно другой перспективы? Давайте проверим как.
Философская перспектива
Швейцарский художник, архитектор и дизайнер Макс Билл (1908–1994) открыл нечто новое — идею в виде формы. В 1935 году Билл работал над скульптурой, в процессе экспериментируя с бумагой. Годы спустя, в 1972 году, он вспоминал тот самый момент (озарения!):
«Я был ошеломлен своим открытием – односторонней петлей. Вскоре у меня появилась возможность использовать его в своих работах. Зимой 1935–1936 годов я готовил экспозицию для Миланской триеннале и предложил три скульптуры, которые должны были подчеркнуть национальную индивидуальность швейцарского раздела выставки. Одной из них была «Бесконечная лента», которая, как мне казалось, была моим собственным «детищем». Вскоре, впрочем, кто-то поздравил меня с оригинальной трактовкой египетского символа бесконечности и ленты Мёбиуса…»
За годы творчества вдохновленный математикой Билл создал множество вариаций бесконечных лент. Хотя он и не был первооткрывателем формы, он открыл ее в новой перспективе – «философской». Билл писал: «То, что я не смог найти в объяснении формы ленты как раз и имеет для меня первостепенное значение- философский аспект символизма бесконечности» и «Тайна, окутывающая все математические проблемы… [включая] пространство, которое поражает тем, что начинается с одной стороны и заканчивается в совершенно изменившемся аспекте с другой, при этом оставаясь той же самой стороной… Все это может таить в себе величайшую глубину…».
Математическая форма
Немецкие математики Иоганн Бенедикт Листинг (1808 – 1882) и Август Фердинанд Мёбиус (1790 – 1868) независимо друг от друга в 1858 году открыли новую математическую форму. С момента своего открытия лента Мебиуса вдохновляла художников, графических дизайнеров, архитекторов, писателей, фокусников и многих других. Одним из ярких примеров являются две гравюры на дереве М. К. Эшера. На одной из них («Лента Мёбиуса I» (1961)) три существа «хватают» друг друга за «хвост». Впрочем, картина несет в себе гораздо больше информации, чем кажется на первый взгляд — оно также демонстрирует, что происходит, если разрезать ленту Мёбиуса пополам вдоль ее центральной линии. Вместо двух односторонних лент Мёбиуса вы получите одну длинную двустороннюю петлю. Точно так же три существа действительно связаны, составляя вместе единую двустороннюю петлю. Пустое пространство между тем, что кажется двумя частями гравюры на дереве, является разрезом посередине. Кстати, если игнорировать его, можно получить единственную ленту Мёбиуса (аналогичная концепция была применена и на показанном изображении Паула Басси). Вторая работа Эшера «Лента Мёбиуса II» (1963) изображает муравьев, ползающих по лестнице из ленты Мёбиуса, расположенной в форме символа бесконечности.
Техническое решение
На основе ленты Мебиуса инженеры-механики открыли новые способы решения технических проблем. В 1871 году, всего несколько лет спустя после открытия Мёбиуса и Листинга, в журнале Scientific American была опубликована статья анонимного механика. В ней описывался революционный подход к работе с механическими ремнями: «правило надевания ремня на четверть витка, чтобы он одинаково растягивается по обоим краям и хорошо выполняет свою работу, независимо от ширины ремня. Пояс надевается обычным образом, а концы сводятся вместе и готовы к шнуровке. Затем выверните одну деталь на противоположную сторону (или внутрь) и зашнуруйте. Ремень побежит, найдется сначала с одной стороны, потом с другой и одинаково протянется с обеих сторон».
Вышеизложенное ясно показывает, что механик не только сделал ленту Мёбиуса из механического ремня, но и знал о ее главной особенности- одной стороне. Это качество позволяло «ремню Мёбиуса» изнашиваться равномерно по всей поверхности (NB: механические ремни обычно изготавливаются из ламинированных слоев с усиленным сердечником, покрытым несущим поверхностным слоем. Следовательно, выгодно продлить срок службы поверхностного слоя путем равномерного распределения нагрузки «на обе стороны» или на одну сторону в случае «ремня Мёбиуса»).
Возможно ли, что за столь короткое время лента Мёбиуса из достояния чистой математики нашла свое применение в совершенно другой области знаний, да еще по другую сторону океана? Да, но маловероятно. Более логично, что анонимный механик открыл ее независимо, возможно даже на основе какого-нибудь более раннего примера.
Кстати, равномерное изнашивание всей поверхности по причине наличия одной стороны — не единственная гениальная особенность этого изобретения. Анонимный мастер описывает еще одно любопытное свойство «ремня Мебиуса»: часть «пояса на четверть витка» указывает на то, что ремень использовался для соединения двух частей машин, расположенных под прямым углом друг к другу. Подобная форма расположения достаточно распространена и применялась за сотни лет до открытия Мебиуса и анонимного механика. В «Книге знаний об изобретательных механических устройствах», написанной аль-Джазари из Джазирата ибн Умара (современная Джизра в Турции) в 1206 году, представлена схема цепного насоса. Цепь (или веревка), соединяющая ковши насоса, изображена в форме ленты Мёбиуса.
Мозаика
В Древнем Риме художники-мозаичисты открыли нечто новое — скрученную ленту с нечетным количеством витков. В мозаиках того времени в центре композиции обычно изображалось что-нибудь из мифологии в окружении нескольких орнаментов и, между ними, спиральной двухцветной ленты. А потому мозаичистам приходилось сталкиваться с неприятной проблемой: нельзя использовать два цвета, если скрученная лента «перекручивается» нечетное количество раз.
Лента Мёбиуса может быть сделана более сложным способом, чем с одним полуоборотом: любое нечетное число полуоборотов создает одностороннюю ленту Мёбиуса, которую нельзя раскрасить двумя цветами (а наличие четного числа половин создает стандартную двустороннюю ленту). Мозаичисты, использовавшие длинные скрученные ленты, рано или поздно должны были обнаружить этот парадокс…
Впрочем, мир мозаичистов не спешил принимать столь кардинальные изменения. На римской мозаике, обнаруженной в Остии, видно, что ее создатель не знал об этом феномене. Он сделал двухцветную ленту, скрутив ее нечетное количество раз, только чтобы в конце обнаружить, что это невозможно. После этого «редакторы» срочно ее закрасили. А вот другой пример: мозаика, которая окружает центральное изображение, имеет поразительное сходство с лентой Мебиуса с пятью витками. Впрочем, остается неясным, действительно ли это лента Мебиуса или просто очень похожая форма.
Впрочем, нам известна мозаика- «исключение из правил». Мозаика, датированная 200–250 годами нашей эры, изображает Эона, бога вечности, предшественника космоса. «Жизнь» Эона одновременно вечна и циклична: будущее — это возвращающаяся версия прошлого. И в этом Эон отличается от Хроноса, который есть эмпирическое, линейное, прогрессивное и историческое время, которое делится на прошлое, настоящее и будущее. На мозаике Эон стоит между двумя деревьями — покрытым листвой и голым («лето и зима»). На изображении присутствуют также Теллус, древнеримское божество Матери-земли (она же древнегреческая Гея) и четверо детишек, которые олицетворяют времена года. Эон держит небесную сферу, украшенную знаками зодиака- но вот, что интересно: эта «сфера» —лента Мёбиуса.
Изображение знаков зодиака на ленте Мёбиуса позволило показать все знаки, не скрывая ни одного из них на «обратной» стороне, как приходилось делать другим мозаичистам (с тяжелым сердцем, не сомневаюсь!). Впрочем, побочным результатом такой открытости стало изображение некоторых созвездий не на своих обычных местах (но это уже мелочи… возможно…).
Было ли использование ленты Мёбиуса на этой мозаике оригинальным приемом, позволяющим изобразить все знаки зодиака? Или же художники хотели подчеркнуть столь элегантным способом идею цикличности времени? Кто знает…
.jpg){kind=link}
Природное явление
Вне всяких сомнений, задолго до художников, математиков, механиков и создателей мозаик лента Мебиуса была «изобретена» самой Природой:
Избранное изображение от paulabassi2, Pixabay.
Статьи по теме: